判断连续时间系统的线性非时变性和因果性

　　硅谷网8月3日消息 《硅谷》杂志2012年第12期刊文称,在“信号与系统”课程中，对连续时间系统的线性非时变性和因果性的判断是个难点。结合自己在该课程教学过程中的体会，将连续时间系统的输入输出描述可分为三种情况，分别介绍这些系统的线性非时变性的判断方法。并从时域和变换域对系统的因果性判断进行分析。通过这些方法，学生可以快速准确的判断系统的线性非时变性和因果性。
　　在“信号与系统”课程的教学中，对连续时间系统的线性非时变性和因果性的判断是一个很重要的内容，对学生来说，同时又是个难点。文献[１]仅讨论了连续时间系统的输入输出描述为数学解析式时非时变性的判断方法。目前还未有文献全面分析连续时间系统的线性非时变性和因果性的判断方法。笔者结合自己在该课程教学过程中的体会，总结了对连续时间系统输入输出描述为三种不同情况下的线性非时变性的判断方法，并从时域和变换域介绍了系统的因果性判断方法。
　　1线性非时变性的判断
　　能满足叠加定理的系统就是线性系统[2]。设当激励为f1（t）时，响应y1（t）=T[f1（t）]，当激励为f2（t）时，响应y2（t）=T[f2（t）]，则由叠加定理可得：
　　T[Af1（t）+Bf2（t）]=AT[f1（t）]+BT[f2（t）]=Ay1（t）+By2（t）（1）
　　非时变系统是指在零初始状态条件下，系统的响应与激励加入时刻无关[2]。设T[f（t）]=y（t），
　　则由非时变性质可得：
　　T[f（t-t0）]=y（t-t0）（2）
　　对于连续时间系统的线性非时变性的判断是个难点，笔者将连续时间系统的输入输出描述分为三种情况，并分别介绍了这些系统的线性非时变性的判断方法。通过这些方法，学生可以快速准确的判断系统的线性非时变性。
　　1）连续时间系统输入输出描述为微分方程形式
　　设作用于系统的激励信号为f（t），产生的响应为y（t）。如果描述连续时间系统的微分方程中的所有的项都只含f（t）及其导数或者y（t）及其导数的一个乘积项，则该系统为线性系统[2]。如果微分方程中任何一项的系数都是常数，则系统为非时变的。如果f（t）或者y（t）中任何一项的系数是t的时间函数，则系统为时变的。下面通过例子说明。
　　例1：y’’（t）-2y’（2t）+5y（t）=6ef（t）f（t）
　　在例1中，由于ef（t）f（t）含有2个关于f（t）的乘积项，所以系统为非线性的。又因为y’（2t）将使系统随时间变化，所以系统为时变系统。
　　2）连续时间系统输入输出描述为数学解析式（不包含初始状态）
　　如果连续时间系统输入输出描述为数学解析式，应按照式（1）和式（2）判断系统的线性非时变性。
　　例2：y（t）=f（t-2）+f（3-t）
　　在例2中，T[Af1（t）+Bf2（t）]=Af1（t-2）+Bf2（t-2）+Af1（3-t）+Bf2（3-t）
　　=A[f1（t-2）+f1（3-t）]+B[f2（t-2）+f2（3-t）]
　　=Ay1（t）+By2（t）
　　所以该系统满足叠加定理，为线性系统。
　　设f（t-t0）=g（t），则T[f（t-t0）]=T[g（t）] 
　　=g（t-2）+g（3-t）
　　=f（t-2-t0）+f（3-t-t0）
　　而y（t-t0）=f（t-2-t0）+f（3-t+t0）≠T[f（t-t0）]
　　所以该系统不满足非时变性，为时变系统。
　　3）连续时间系统输入输出描述中包含初始状态
　　如果连续时间系统输入输出描述中包含初始状态，则判断系统是否满足线性性质的步骤如下：
　　①判断系统响应是否满足分解性质，如果满足分解性质，则
　　y（t）=yzi（t）+yzs（t）（3）
　　②零输入响应yzi（t）是否满足线性性质。判断方法按照式（1）。
　　③零状态响应yzs（t）是否满足线性性质。判断方法按照式（1）。
　　对于该系统是否满足非时变性的判断方法仍见式（2），特别要注意式（2）是适用于零初始状态。
　　例3：y（t）=6x（0）+2f（sint）
　　在例3中，yzi（t）=6x（0），yzs（t）=2f（sint），系统响应满足分解性质。
　　因为T[Ax1（0）+Bx2（0）]=6[Ax1（0）+Bx2（0）]
　　=A[6x1（0）]+B[6x2（0）]
　　=Ayzi1（t）+Byzi2（t）
　　所以，零输入响应yzi（t）是满足线性性质。
　　又因为T[k1f1（t）+k2f2（t）]=2[k1f1（sint）+k2f2（sint）]
　　=2k1f1（sint）+2k2f2（sint）
　　=k1yzs1（t）+k2yzs2（t）
　　显然，零状态响应也满足线性性质。所以可得出，系统为线性系统。
　　对于零状态响应yzs（t），设f（t-t0）=g（t），则T[f（t-t0）]=T[g（t）]
　　=2g（sint）
　　=2f（sint-t0）
　　而y（t-t0）=2f[sint（t-t0）]≠T[f（t-t0）]
　　所以该系统不满足非时变性，为时变系统。
　　2因果性的判断
　　如果一个系统在任何时刻的输出只决定于现在的输入以及过去的输入，该系统就称为因果系统[3]。若当t<0时激励f（t）=0，则当t<0时响应y（t）=0。
　　对于连续时间系统，既可以从时域的角度判断系统的因果性，也可以从变换域的角度来判断系统的因果性。
　　1）从时域角度判断
　　如果连续时间系统用输入输出描述，可以按照因果系统的定义进行判断。
　　例4：y’’（t）+4y’（t））=3f（t-1）+2f（t+1）
　　在例4中，y（t）在t时刻的值要依赖于f（t）在t+1的值。所以，系统为非因果系统。
　　例5：y（t）=e-2x（0）t+f（sin（t+5））
　　在例5中，y（t）在t时刻的值要依赖于f（t）在t+5的值。所以，系统为非因果系统。
　　例6：y（t）=af（t-1）+f（t）
　　在例6中，显然，系统为因果系统。
　　对于连续时间的线性非时变系统，除了可以用输入输出描述外，还可以用系统的冲激响应h（t）表征系统的本身特性。系统的冲激响应h（t）定义为在系统初始状态为零的条件下，以单位冲激信号激励系统所产生的零状态响应。如果系统为因果系统，则系统的冲激响应h（t）应满足：
　　h（t）=0（t<0）（4）
　　例7：线性非时变系统的单位冲激响应为h（t）=e-tu（t）
　　在例7中，因为t<0时，h（t）=0，所以该系统为因果系统。
　　2）从变换域角度判断
　　系统的冲激响应h（t）的拉普拉斯变换为系统函数H（S）。而冲激响应h（t）为右边信号，右边信号的拉普拉斯变换的收敛域为S平面的实轴上某个数以右的平面[3]。
　　例8：系统函数H（S）=6/（S+1），其中Re[s]>-1
　　在例8中，因为收敛域为Re[s]>-1，是右边平面。所以系统为因果系统。
　　3结语
　　在“信号与系统”课程中，线性非时变性和因果性是系统最重要的性质。学生往往不能快速而准确的判断出系统的线性非时变性和因果性。本文逐一对连续时间系统的输入输出描述的三种情况的线性非时变性判断方法进行了介绍，且对系统的因果性判断方法分别从时域和变换域两个角度作了分析。并通过举例以便学生更好的理解连续系统的线性非时变性和因果性的判断方法。
　　作者简介：
　　潘小红（1980-），女，湖北荆州人，硕士研究生，专业教师，长江大学文理学院，研究方向：信号处理。（原文载于《硅谷》杂志2012年第12期，硅谷网及《硅谷》杂志版权所有，未经允许禁止转载）